Centroides y centros de masa

Continuando con el análisis de las aplicaciones de la integral, esta vez estudiaremos dos conceptos muy parecidos que son el centro de masa y el centroide, como siempre trataré de presentar la información lo más sencilla y clara posible.

Centroide

Centroide es un término mayormente utilizado en geometría, y se refiere a la intersección de todos los hiperplanos que dividen a un objeto X en dos partes que cuentan con volumen igual con respecto al hiperplano. En pocas palabras, el centroide es el promedio de todos los puntos del objeto X. Y como ya se mencionó, el concepto de centroide es puramente geométrico, esto porque depende de la forma del sistema que lo contiene. También se le suele llamar centro de simetría de una figura geométrica.

Centro de masa

El término centro de masa suele utilizarse para referirse al punto donde puede considerarse que la masa de un cuerpo determinado está concentrada, esto para poder estudiar determinados aspectos de su movimiento.

Aún si un objeto esta en rotación, el centro de masa se moverá como si fuera una partícula, debido a esto se llega a describir al centro de masa como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido.

En La segunda ley de Newton se aplica la siguiente fórmula cuando se usa el centro de masa.

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En donde F es la fuerza externa neta, M la masa total del sistema y ACM es la aceleración del centro de masa. Con esto la ecuación nos dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en el, y recibiera la acción de la resultante de las fuerzas externas.

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Volumen de sólidos en revolución

Seguimos con las aplicaciones de la integral definida. En esta ocasión toca el turno a un tema muy gráfico y muy interesante, me refiero a volumen de sólidos en revolución.Los sólidos obtenidos al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo llamada eje de revolución se denominan sólidos en revolución. Entonces:

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a, b], si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, esta genera un sólido de revolución cuyo volumen se puede determinar.

Podemos desarrollar diversidad de sólidos en revolución, simplemente con girar una figura plana sobre un eje, aunque existen algunos más usuales que otros.

Para que entiendas un poco más lo que son los sólidos en revolución, las representaciones más comunes de estos sólidos y sobre todo la manera en la que se puede calcular su volumen te invito a ver la siguiente presentación que fue extraía desde el sitio www.slideshare.net

Trabajo y fuerza

La clase siguiente tratará de dos conceptos muy frecuentemente utilizados en la vida cotidiana de las personas en diferentes situaciones, dichos términos son trabajo y fuerza. Y es que tanto la palabra trabajo como la palabra fuerza se utilizan para expresar muchas cosas. Por ejemplo: Una persona ha trabajado intensamente al tratar de levantar un objeto sin haberlo logrado a pesar de su esfuerzo.

Ahora bien, si analizamos esa oración desde el lado de la física podemos afirmar que la persona no realizó ningún trabajo debido a que de acuerdo a esta ciencia, el trabajo mide el efecto espacial de una fuerza sobre un proceso de manera cuantitativa.

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En el caso de que una sola fuerza constante sea la que actúe sobre un cuerpo que a su vez se mueve por una línea recta en la misma dirección que ella se dice que el trabajo efectuado es el producto de la fuerza por el desplazamiento.

Si el punto de aplicación de la fuerza no se desplaza, se dice que la fuerza ha efectuado una presión o una tracción, es decir, un esfuerzo, pero no se puede decir que se haya realizado un trabajo. Por eso es que si el punto de aplicación de la fuerza no se mueve, no se ejerce trabajo alguno.

La unidad de trabajo en el sistema internacional es el denominado Joule y se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 N cuando el objeto sobre el cual se ejerce se desplaza 1 m en la misma dirección que ella.

Interpretaciones gráficas de los teoremas del cálculo

Como ya debes de haberte dado cuenta, a lo largo de las clases que haz podido estudiar, hemos analizado los diferentes teoremas utilizados en el cálculo integral y la forma de representarlos matemáticamente.

En esta ocasión podremos apreciar y sobre todo aprender la forma en como se pueden representar estos teoremas de forma gráfica. Pero creo que sería ideal que antes recordemos un poco el concepto de gráfica y algunos aspectos importantes que tienen que ver con la misma.

Gráfica

Es el término utilizado para referirse a las representaciones de datos que son generalmente de tipo numéricos. Dichos datos son representados mediante recursos gráficos que pueden ser desde líneas, superficies, símbolos, etc. Esto para manifestar de forma visual la relación que existe entre los datos y estos recursos.

Representar algo de forma grafica nos permite establecer valores mediante interpolación y extrapolación, valores que no han sido obtenidos experimentalmente.

Tipos de gráficas

Existen diferentes tipos de gráficas, por lo que se ha hecho una clasificación de las mismas. Se presenta a continuación.

  • Gráfico lineal: Se recomienda para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos.
  • Gráfico de barras: Se usa cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total.
  • Histograma: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos.
  • Gráfico circular: Permite ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total.
  • Pictograma: En el son imágenes las que sirven para representar el comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población, utilizando símbolos de tamaño proporcional al dato representado.

Ahora analizaremos lo que son las gráficas que nos ayudan a representar funciones.

En matemáticas, la gráfica de una función determinada es la correspondencia de los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica.

  • Funciones de una sola variable: Son las que se pueden visualizar completamente mediante un sistema de coordenadas cartesianas. Si la función es continua se representa gráficamente mediante una curva.
  • Funciones de dos variables: Se pueden representar gráficamente mediante una proyección geométrica.
  • Funciones de tres variables: Se pueden visualizar únicamente cortes de la función y solo los valores de dos variables permanecen constantes.

Teoremas del valor medio y la longitud de la curva

La clase que verás en unos momentos más aborda dos temas muy interesantes, los cuales te serán de gran ayuda en tu desarrollo educacional. Espero y la introducción que se te presentará te sea de utilidad para comprender de buena manera el contenido de la clase que verás en esta ocasión, en esta introducción analizaremos el teorema del valor medio para integrales, así como la longitud de la curva.

Teorema del valor medio para integrales

Si la función y=f(x) es continua en el intervalo [a, b], existe en este intervalo un punto c, tal que:

Luego:

El valor de f(c) se denomina valor promedio o medio de f en el intervalo [a, b]. Es además una generalización de la media de un conjunto finito de números.

Este teorema nos dice que podemos construir un rectángulo de altura f(c) y de base b-a, donde a<c<b; tal que un área sea de igual magnitud que el área de la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.

Longitud de una curva

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor será el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

Integración de funciones racionales

En la clase que verás en unos momentos más analizaras otro tipo de integrales diferentes a las que haz visto hasta la fecha, me refiero a las funciones de tipo racionales, las cuales podemos definir de la siguiente manera.
Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se puede expresar en la forma:
Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el intervalo [a, b].En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de grado inferior que el denominador, es decir:
Dependerá de las raíces con las que cuente el denominador para determinar que tipo de integral racional es la que resolveremos, se pueden presentar 3 diferentes tipos:
  • Integrales racionales con raíces reales simples: En la cual la fracción  puede escribirse así:
  • Integrales racionales con raíces reales múltiples: En la cual la fracción  puede escribirse así:
  • Integrales racionales con raíces complejas simples: En la cual la fracción  puede escribirse así:
     

Integración de funciones racionales por el método de sustitución trigonométrica.

A lo largo de este curso, haz analizado diversos tipos de funciones que pueden ser resueltas mediante la aplicación de las integrales, en esta ocasión estudiaremos un tipo en particular, las funciones racionales, también llamadas fraccionales.
Una ecuación racional o fraccional es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales. Estas se pueden resolver siguiendo una serie de pasos:
  • Primeramente despejar la ecuación de las fracciones. La forma más recomendable para esto es multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.
  • Resolver las ecuaciones

En ocasiones al multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo podemos obtener una nueva ecuación que puede no contener números que sean la solución a la ecuación original, por lo que se recomienda verificar siempre las posibles soluciones en la ecuación original. Para hacer dicha verificación basta con probar si uno de los números  obtenidos provoca que uno de los denominadores de la ecuación original se convierta en 0. Para un mejor entendimiento, realicemos un ejemplo.

Resuelva:

  • Encontrando el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 1:
    MCM= 3 x 2 x 1 = 6
  • Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCM:
  • Removiendo paréntesis:
  • Simplificando:
    – 3(x+1)-2(x-3)=18
    – 3x+3-2x+6=18
    – x+9=18
    – x=18-9
    x=9 

Y es así como se resuelve una ecuación racional siguiendo los pasos indicados anteriormente. Espero haya sido lo suficiente claro para ti, y de igual manera te invito a que pongas mucha atención a la clase siguiente ya que analizaras la forma de resolver este tipo de funciones mediante un método muy interesante, la sustitución trigonométrica.

Área bajo la curva

En esta ocasión abordaremos un tema muy interesante que tiene mucho que ver con las integrales, se trata de una de las aplicaciones que se utilizan más comúnmente en el cálculo integral, me refiero al cálculo del área bajo la curva. Pero para poder entender las relaciones entre ambos conceptos te invito a que analices la siguiente presentación, la cual fue extraída del sitio de internet www.slideshare.nety es propiedad del Lic. León Hurtado al cual le agradezco por su valiosa aportación.
Existen diversos métodos que se utilizan para calcular el área que se encuentra debajo de una curva, los más conocidos son sin duda los que implican el utilizar figuras geométricas para las cuales no sea difícil calcular su área, para después introducir tantas de esas figuras como sea posible bajo la curva y así conseguir aproximarse lo más posible al área total.

Pero ese no es el método que utilizaremos en esta ocasión, sino que llevaremos a cabo el cálculo del área bajo una curva mediante el uso de una integral definida, es aquí donde le doy paso a la presentación mencionada anteriormente, espero y sea de tu total agrado.

Funciones exponenciales y trigonométricas

En la clase que estas a punto de ver, se presentarán dos tipos de funciones que representan gran importancia para las matemáticas, me refiero a las funciones exponenciales y a las funciones logarítmicas, así que antes de que aprendas a integrar este tipo de funciones me gustaría proporcionarte información importante para que conozcas un poco más de cada una de estas funciones. Comenzaremos con las funciones exponenciales.

Funciones exponenciales

Los exponentes surgieron en las matemáticas para que existiera un método que expresara el producto de varios factores semejantes de una manera corta y sencilla. Ahora pasemos a la definición matemática de lo que es una función exponencial.

Se le llama función exponencial a todas aquellas que son de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.

Esta definición exige un requisito muy importante para que la función sea considerada de tipo exponencial. El requisito es el siguiente.

  • Que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1)

Esta condición se debe de aplicar ya que si la base es igual a 1 la función se convertiría en una función constante. De igual manera no puede haber una base negativa ya que funciones como f(x) = (-5)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de las funciones exponenciales lo forman el conjunto de números reales, y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

Funciones trigonométricas

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera. Para un mayor entendimiento analicemos cada función individualmente.

Función seno: Se denomina función seno, y se denota por f (x) =  sen x a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

Función coseno: La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

Función tangente: Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tan x, siendo x la variable independiente expresada en radianes. La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Integración por partes

Como lo hemos estado analizando en actividades anteriores, todos los métodos de integración tienen objetivos similares, la transformación de una integral dada, no inmediata, en otra integral o suma de varias integrales que resulten más sencillas de resolver.

El objetivo particular de la integración por partes consiste en transformar una integral en una suma de un producto de funciones que sume a una integral que resulte más sencilla que la inicial.

¿Cómo resolver una integral por partes?

El método de la integración por partes consiste en identificar a u con una parte de la integral y a dv con el resto, con la intensión de que al aplicar la fórmula:

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La integral del segundo miembro se pueda resolver directamente resultando más sencilla de calcular que la primera. El mayor problema de este método es que no existe una regla fija para identificar convenientemente los miembros, quedando como mejor camino el practicar lo necesario resolviendo un gran número de ejercicios.

Una regla que se debe tomar siempre en cuenta antes de poner en práctica el método es que al identificar dv, esta debe contener siempre a dx con ella.

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